Ensemble, ils ont réalisé l'œuvre Un théorème
reproduite ci-contre.
Mais, une fois l'œuvre terminée, Pierre
s'interroge sur son contenu scientifique, et questionne
Xavier à ce sujet.
Il ne s'attendait pas à ce que cette illustration cache autant de mathématiques.
Ci-dessous, une retranscription de leur discussion.
Salut Pierre.
Hey, salut Xavier.
Ça y est, j'ai fini de travailler sur ton projet mathématico-artistique.
Tu vas me dire ce que tu en penses, je ne te cache pas que je suis plutôt
content du résultat.
Ah oui ! C'est magnifique ! Bravo !
Super, je suis content que ça te plaise. Je t'avoue que j'étais un peu
stressé.
Par contre, tu ne m'as toujours pas expliqué de quoi il retournait
et, franchement, je suis complètement perdu sur le plan scientifique.
Ça représente quoi ce machin ?
T'as raison, je te dois bien quelques explications.
En fait, je ne saurais même pas dire, à coup sûr, de quelle science il
s'agit.
Bon, comme t'es mathématicien et comme tu m'as fait écrire
Théorème, j'imagine que c'est quand même des maths. Mais rien
qu'à voir le dessin, j'aurais pas deviné, c'est sûr.
Oui, c'est des maths, évidemment.
En fait, ce dessin, comme tu dis, c'est juste un pavage de l'hexagone
régulier par des losanges.
Euh...
D'accord, je t'aide un peu.
L'hexagone, je pense que tu le vois, n'est-ce pas ? C'est cette figure
à six côtés à l'intérieur de laquelle tout se passe.
Oui, je le vois.
Très bien. Alors maintenant, essaie de faire abstraction des couleurs
et concentre-toi sur les formes, sur les lignes blanches à l'intérieur
de l'hexagone.
Elle délimitent des losanges, tu vois ?
Oui, tout à fait.
Et ces losanges remplissent l'hexagone sans se chevaucher ; on dit
qu'ils le pavent.
Euh, oui d'accord. Et c'est tout ?
Non, ce n'est pas tout. Je ne t'ai pas encore expliqué le théorème,
n'est-ce pas ?
C'est vrai.
Donc, regarde bien ce pavage.
Il y a trois types de losanges :
ceux qui sont debout
(),
ceux qui sont penchés vers la gauche
() et
ceux qui sont penchés vers la droite
().
D'accord ?
Oui, d'accord.
Eh bien, le théorème dit qu'il y en a autant de chaque type.
En mathématiques, le signe # est souvent utilisé pour dire
« nombre ».
Donc ici, on lit :
nombre de losanges debout
= nombre de losanges penchés à droite
= nombre de losanges penchés à gauche
Tu me suis ?
Oui. Et c'est quoi ce « égale n au carré » ?
En plus de te dire qu'il y en a autant, ça te dit combien il y en
a exactement.
Ici n, c'est le nombre de petits segments en lequel est
divisé chaque côté de l'hexagone. Sur notre dessin, c'est 10.
Comme tu sais « n au carré », c'est
n multiplié par lui-même,
ce qui fait donc 100 pour notre dessin.
Le théorème nous dit donc que non seulement, il y a autant de
losanges dans chaque orientation mais, plus précisément, qu'il y en a
100 dans chaque.
D'accord, d'accord...
Je te sens un peu dubitatif
À vrai dire, je ne vois pas trop ce qu'il y a d'extraordinaire.
On a dessiné un pavage avec 100 losanges dans chaque direction.
Très bien. Il y avait vraiment besoin d'un théorème mathématique
pour ça ?
Ah ! Mais le théorème ne vaut pas que pour ce dessin.
Il dit que pour que n'importe quel pavage de l'hexagone par
des losanges, il y aura toujours autant de losanges dans chaque
orientation.
Et, toi-même, si tu dessines un pavage et qu'une fois terminé, tu
comptes les losanges, tu en trouveras forcément 100 dans chaque sens.
Pour voir d'autres pavages possibles, cliquez sur l'icône
en dessous de l'hexagone (la deuxième en partant de la gauche).
Si vous avez le courage,
vous pourrez ainsi vous aussi compter et vérifier par vous-même
que, pour tous ces pavages, il y a toujours autant de losanges
orientés dans chaque direction.
Ah d'accord, je comprends.
En effet, dans cette généralité, c'est vrai que c'est assez remarquable.
Personnellement, je n'aurais pas pensé que l'écriture d'un théorème
puisse être aussi visuelle, mais si tu me dis que c'est correct, ça me
plaît beaucoup.
Xavier, remettons le coloriage, si tu veux bien.
La crevasse noire, au milieu, est un peu perturbante, c'est vrai.
Mais, quand
même, comme ça, j'ai vraiment l'impression de voir une figure en trois
dimensions, une sorte d'empilement de cubes, pas du tout un pavage
d'un hexagone.
Eh oui, bien sûr ! C'est ce qui est extraordinaire avec ce dessin.
Et surtout, lorsque tu vois la figure en 3D, il devient quasiment
évident qu'il y a autant de losanges dans chaque orientation :
regarde bien, les losanges debout semblent remplir la face sur le
côté et, de même, les losanges penchés remplissent chacun une autre
face, celle du fond et celle du dessus.
Exact !
Ainsi, le « n au carré » devient tout à fait
limpide.
Ce n'est rien d'autre que la formule qui donne la surface d'un carré :
la longueur du côté multipliée par elle-même.
CQFD. Chapeau.
CQFD... Oui et non.
Le plus délicat, en fait, dans cette histoire, c'est de démontrer
qu'un pavage de l'hexagone, c'est pareil qu'un empilement de cubes.
On le voit sur le dessin, ça saute aux yeux, c'est clair, mais ce n'est
pas un argument suffisant pour un mathématicien.
Vraiment, alors qu'est-ce qu'il vous faut de plus ?
Les illustrations, les schémas, les dessins sont vraiment formidables,
pas seulement pour les artistes, comme toi, mais aussi pour les matheux
comme moi, je te l'assure.
Ils montrent le chemin, ils guident l'intuition. Mais, malheureusement,
ils peuvent aussi être trompeurs, tu le sais très bien, j'en suis sûr.
Alors, les matheux, qui se sont régulièrement faits piéger par le
passé, exigent toujours maintenant une démonstration formelle en plus
d'une illustration.
Hey, pendant que tu parlais, le dessin a bougé, non ?
Non, il n'a pas bougé.
Mais, comme je te le disais, les dessins sont trompeurs. Et celui-ci
peut, en fait, s'interpréter de deux manières différentes. Parfois même,
il saute de l'une à l'autre, sans prévenir.
Quoi ???
Dans la zone noire, essaie de repérer un des deux motifs suivants :
ou
.
Essaie d'en prendre un que tu vois comme un cube creux (plutôt qu'un
cube plein), ce sera plus facile.
C'est bon, tu l'as ?
Oui, c'est bon, j'en ai trouvé un.
Parfait.
Alors maintenant, concentre-toi sur cet hexagone, ne regarde rien
autour et essaie de le retourner pour voir un cube plein.
Tu me dis quand tu y es.
Hum, pas facile...
Ah si, c'est bon, j'y suis !
Excellent !
Maintenant, garde-le bien, c'est le plus important. Et déplace ton regard sur
le côté tout doucement. Est-ce que tu vois toute la figure se retourner ?
Ah oui, je la vois. C'est magique !
Tu as raison. Magique. C'est vraiment le mot.
Et, comme quoi, les mathématiciens ne sont pas forcément si bizarres
de refuser de se fier uniquement à un dessin.
Ouais... pas forcément si bizarres. Admettons.
À part ça, je me demandais aussi : les demi-cercles jaune et
bleu et la crevasse noire entre les deux, ils sont là pour faire
joli ou ils ont une signification particulière ?
Les deux, mon cher.
Ah, ah. Tu m'expliques alors ?
Oui, bien sûr. Je commence par la crevasse, si ça te convient.
Alors, regarde bien la ligne brisée qui marque la frontière entre
la crevasse et la region jaune.
Oui, je la vois très bien. Ça fait une sorte d'escalier.
Oui, c'est ça.
En fait, selon la manière dont tu vois l'empilement de cubes, on
peut voir soit un escalier, soit une ligne de niveau.
Oui, en effet. La figure vient de se retourner à l'instant, et je
vois maintenant la ligne de niveau.
OK.
Alors, maintenant, regarde la frontière entre la crevasse et la région
bleue.
Ben, c'est pareil : c'est une autre ligne de niveau, un peu plus
basse.
Ou, si je retourne la figure... attends... oui, voilà, c'est un autre
escalier un peu plus vers nous.
Exactement.
En fait, ces lignes brisées (escaliers ou lignes de niveaux), on peut
en tracer une à partir de chaque petit losange qui touche le côté sud
ouest de l'hexagone. Et elles rejoignent toutes le côté nord est.
Oui.
Une propriété de ces lignes brisées est qu'elles ne se croisent pas.
Bien sûr puisque chacune reste sur sa ligne de niveau.
Voilà.
De plus, chacune de ces lignes est une succession de petits
segments qui sont horizontaux ou font un angle de 60° avec l'horizontale.
Oui, c'est ça.
Quand tu dis qu'ils font un angle de 60° avec l'horizontale, tu veux
dire qu'ils sont parallèles au côté sud-est (ou nord-ouest, au choix)
de l'hexagone ?
Oui, si tu préfères.
À présent, j'affirme que la donnée de ces lignes brisées est équivalente
à celle du pavage.
Comment ça ?
Déjà, tu es d'accord qu'à partir du pavage, on a réussi à dessiner ces
fameuses lignes brisées ?
Ben oui, c'est ce qu'on vient de faire.
Ce que je dis, c'est que, réciproquement, si je ne te dessine que les
lignes brisées, tu peux facilement reconstruire le pavage.
Ah.
En fait, c'est même facile :
chaque fois que tu vois un petit segment horizontal dans
une ligne brisée, tu lui mets autour un losange penché à gauche
()
chaque fois que tu vois un petit segment penché, tu lui
mets autour un losange debout
(),
et enfin, tu complètes tout le reste par des losanges
penchés à droite
().
Oui, c'est vrai, ça marche.
Cette construction te montre donc que se donner un pavage de l'hexagone,
c'est finalement la même chose que se donner une famille de lignes
brisées qui respectent les conditions qu'on a vues ensemble.
D'accord. Et en quoi c'est intéressant ?
Oh, eh bien, c'est toujours intéressant d'avoir un nouveau point de
vue (qui plus est, radicalement différent) sur un problème donné.
Tout à l'heure, par exemple, tu as vu qu'interpréter le pavage de
l'hexagone comme un empilement de cubes permettait littéralement
d'éclairer notre théorème.
C'est vrai.
Et ici, alors, qu'est-ce que cette nouvelle interprétation permet
d'éclairer ?
Plein de choses.
Par exemple, elle permet de compter le nombre de pavages de l'hexagone.
C'est un résultat remarquable qui a été obtenu en 1985 par deux
combinatoriciens célèbres : Ira Gessel et Xavier Viennot. Soit dit
en passant, Xavier Viennot travaille ici à Bordeaux.
La formule est un peu compliquée à écrire, je ne te la donne pas.
Mais, malgré tout, elle est très facile à appliquer. Grâce à elle,
par exemple, on sait qu'il y a exactement :
9265037718181937012241727284450000
pavages de l'hexagone lorsque n vaut 10.
Oh là, c'est vraiment un très grand nombre, ça, n'est-ce pas ?
Je ne te le fais pas dire.
C'est environ 9 millions de millards de millards de millards.
Un millard de fois plus que le nombre de gouttes d'eau dans la mer !
Ah oui, quand même, ça donne le vertige.
Je te laisse reprendre tes esprits deux minutes, puis on passe à
l'explication des demi-cercles jaune et bleu ?
C'est bon, je suis prêt.
D'accord. Alors, on y va.
Ces demi-cercles, ils sont là pour illustrer le théorème du cercle arctique.
Le quoi ?
Le théorème du cercle arctique.
Très poétique. Mais, qu'est-ce que c'est ?
C'est un théorème de 1998 démontré par
Henry Cohn, Michael Larsen et James Propp.
Et que nous dit-il ce théorème ?
Il dit qu'en dehors du cercle jaune et bleu, les losanges sont
gelés :
ils sont debout sur la gauche et sur la droite et penchés dans la
bonne direction dans les quatre autres coins. Alors qu'au contraire,
à l'intérieur du cercle, ça bouillonne.
C'est encore plus flagrant quand on augmente le nombre de losanges.
Pour faire varier le nombre de losanges, déplacez le curseur
situé en bas à gauche sous les icônes
et
.
Cliquez ensuite sur l'icône
pour afficher de nouveaux pavages et observer le phénomène du
cercle arctique.
Oui, oui, ça se voit bien...
Tu as l'air perplexe.
En effet, je ne comprends pas.
Cette fois-ci, ça ne peut pas être un théorème qui porte sur tous les
pavages possibles. Moi, je t'en dessine facilement un dans lequel les
coins ne sont pas comme tu dis.
Pour voir le pavage dessiné par Pierre, cliquez sur l'icône
.
On constate que les losanges dans le coin le plus à gauche ne sont
pas debout, contrairement à ce qu'affirme le théorème du cercle
arctique.
Si ton théorème ne porte que sur les pavages que tu me montres, je ne
vois pas ce qu'il y a de remarquable. Moi aussi, je peux commencer par
tracer un cercle, geler l'extérieur comme tu me le dis, et dessiner
l'intérieur au hasard.
Bravo, je vois que tu ne te laisses pas entourlouper facilement !
Il s'agit en fait d'un théorème probabiliste. Il ne dit pas que tous
les pavages exhibent le phénomène du cercle arctique, mais juste une
très grande proportion d'entre eux.
Autrement dit, si je prends un pavage au hasard parmi tous ceux qui
sont possibles, il y a de très très fortes chances que j'observe le
phénomène, d'autant plus fortes que le nombre de losanges est grand.
Et donc, là, si je te suis, les pavages que tu me montres sont des
pavages tirés au hasard, c'est ça ?
Tout à fait.
Comment tu fais pour les tirer ?
Tu listes tous les pavages possibles et tu en choisis un parmi eux ?
Non, je ne peux pas faire ça. Rappelle-toi, rien que lorsque n
vaut 10, il y a 9 millions de millards de millards de millards de
pavages possibles.
Un ordinateur qui arriverait à lister un millard de pavages à la
seconde (ce qui est déjà une véritable prouesse) mettrait des millions
de millards d'années à écrire la liste complète. C'est beaucoup
plus que l'âge de notre univers !
Oui, ça fait long...
Pire encore, lorsque n vaut 20, le nombre de pavages devient
absolument faramineux. C'est :
un nombre à 137 chiffres. Beaucoup plus grand que le nombre d'atomes
dans l'univers qui est, on pense, un nombre à seulement 80 chiffres.
Oui, d'accord, d'accord, j'ai compris...
Mais alors, tu fais comment ?
Voici une méthode, qui ne donne que des résultats approximatifs, mais
qui est assez facile à expliquer et que j'aime bien.
Elle repose sur le cas le plus simple de l'hexagone de taille 1, qui
admet les deux pavages que tu connais :
et
.
Jusque là, tout va bien ?
Ça va.
Très bien.
Maintenant, prends ton pavage préféré de l'hexagone, celui que tu
m'as montré tout à l'heure par exemple.
À l'intérieur, tu cherches tous les motifs qui correspondent à un
hexagone de taille 1, comme avant. Parmi tous ces motifs, tu en
choisis un au hasard, puis tu le « retournes » ;
je veux dire par là que tu remplaces le pavage qu'il y a par son copain.
OK.
Et maintenant, tu recommences encore et encore.
Pour observer ces transformations sur le pavage ci-contre, cliquez
sur l'icône Lecture.
Le curseur situé en dessous permet de régler la vitesse.
Peu à peu, la zone active grossit et, quand elle se stabilise,
ça y est, ton pavage est un pavage aléatoire, comme tu le voulais.
Et ça met combien de temps en pratique pour en arriver là ?
Pour un hexagone de taille n, il faut compter environ n4
flips, même un peu plus.
Par définition, n4, c'est
« n fois n fois n fois n »,
donc ça commence à faire pas mal.
Par exemple, si n vaut 20, ça fait de l'ordre de 160000 flips.
C'est beaucoup si on le fait à la main. Mais un ordinateur fait ça en
moins d'une seconde, c'est vraiment très raisonnable.
En tout cas, ce n'est rien en comparaison d'un nombre à 137 chiffres.
Et si j'en ai marre et que je m'arrête avant ?
Ben, tu le vois sur l'animation : la forme finale met du temps
à se mettre en place, il faut vraiment payer ce n4.
Si tu t'arrêtes avant, la distribution n'est pas uniforme :
certains pavages sont sur-représentés alors que d'autres ne le sont
pas ou pratiquement pas.
Pour accélérer ou ralentir l'animation, n'oubliez pas d'utiliser
le curseur en bas à droite.
Pour simuler d'un seul coup les
n4 flips nécessaires, cliquez sur l'icône
.
Et si, au contraire, je m'amuse tellement que je continue après
n4 ?
Alors là, pas de problème ! À vrai dire, c'est même de mieux en
mieux.
Ça se voit d'ailleurs très bien sur l'animation : une fois que
tu as atteint la forme limite (celle donnée par le cercle arctique),
le pavage continue de changer sans cesse, mais garde globalement
toujours la même tête.
C'est fascinant, cette animation ! On dirait que ça bouillonne.
Oui... et que c'est gelé dans les coins.
En effet.
Tu comprends maintenant pourquoi on appelle ça le théorème du cercle
arctique...
J'aurais encore une question à te poser.
Je trouve vraiment passionnant tout ce que tu m'as raconté.
Mais je me demande quand même : à quoi ça sert ? pourquoi
les mathématiciens se posent de telles questions ?
Eh bien, tu viens de me dire que c'était passionnant.
Ça ne te suffit pas ?
Si, bien sûr !
Mais, quand même : je suis certain qu'il y a quantité d'autres sujets
mathématiques tout aussi passionnants qui ont une autre envergure car
plus liés aux autres sciences ou aux problèmes de société.
Dans ces conditions, pourquoi dépenser autant d'énergie à étudier les
pavages de l'hexagone ?
La question est complexe, et il y a plusieurs réponses possibles.
Je t'écoute.
Déjà, après tout ce qu'on a vu, on ne peut plus vraiment croire que
les pavages de l'hexagone ne sont qu'une curiosité.
Manifestement, la question est d'une richesse inouïe et elle met
en évidence des phénomènes inattendus, surprenants. La mission du
scientifique est de chercher à les comprendre et à les expliquer,
ce n'est pas dans sa nature d'en faire l'économie.
Je suis d'accord.
Mais, d'un autre côté, il ne me semble pas possible non plus de
travailler sur tous les sujets. Il faut faire des choix et définir
des priorités, non ? Est-ce que l'étude des pavages de l'hexagone
en est vraiment une ?
On ne peut pas travailler sur tous les sujets, c'est certain.
Par contre, définir des critères de priorité est très délicat. De
même qu'il est impossible de savoir a priori sur quoi débouchera
une recherche, à plus forte raison quand elle est fondamentale.
Par nature, les découvertes ne peuvent pas été planifiées.
Certes. Mais là, tu me parles de pavages de l'hexagone.
Ce n'est quand même pas une question propice à faire émerger des
découvertes majeures.
Eh bien, détrompe-toi.
Le théorème du cercle arctique que nous avons observé ensemble a,
en réalité, une portée qui va bien au-delà des pavages de l'hexagone.
Comment ça ?
Le fait est qu'il illustre un phénomène fondamental qui dit que d'une
répétition de phénomènes aléatoires, ératiques, peut émerger une structure
ordonnée visible à grande échelle.
Ici, on renversait aléatoirement des petits hexagones et in fine
que voit-on apparaître ? Un cercle ! Un cercle qui, j'insiste,
n'était pas du tout présent au départ.
Et, donc, tu dis que le même type de choses se produit partout dans
notre monde ?
Oui, exactement.
Par exemple, à l'échelle microscopique, la matière n'est qu'un amas
de molécules qui, dirait-on, se déplacent de manière désordonnée et
s'entrechoquent. Pourtant, à l'échelle macroscopique, on voit
apparaître des structures comme des solides, du gaz, etc.
Et, celles-ci peuvent être décrites par de nouvelles quantités (comme
la taille, la pression, la température) qui émergent de la même
manière que le cercle arctique.
Tu es en train de me dire que le théorème du cercle arctique
permet d'expliquer la physique de la matière ?
Non, ce serait excessif.
Par contre, les outils mathématiques qui sont mis en place dans un
contexte resservent souvent dans un autre.
Ainsi, si tu veux, le théorème du cercle arctique est un banc d'essais
vers la compréhension de phénomènes plus complexes.
Comme la physique de la matière.
Oui, probablement.
Mais aussi la formation du ferromagnétisme, l'évolution des marchés
financiers, la déraisonnable efficacité des algorithmes d'intelligence
artificielle et bien d'autres choses.
Si vous avez le courage, vous pourrez ainsi vous aussi compter et vérifier par vous-même que, pour tous ces pavages, il y a toujours autant de losanges orientés dans chaque direction.